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数学是什么?  

2007-05-08 07:02:06|  分类: 数学教育 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学是什么?

夏青峰

 

相信很多数学老师都这样问过自己:数学究竟是什么?作为一个数学老师,如果这个问题都回答不了,好象有点说不过去。但是谁又能真正说清楚数学是什么呢?美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道:“……对于学者,对于普通人来说,更多的是依靠自身的数学经验,而不是哲学,才能回答这个问题:数学是什么?”的确,我们很难给数学下一个准确的定义,就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧。

 

一、是客观,还是主观?

[案例1]“含有未知数的式子叫方程。”判断错误,应把“式子”改为“等式”才对,我们一直这样教学生、考学生。可这样改,就是绝对真理了吗?我们从未思考过。张奠宙先生曾在《小学数学教师》上撰文说:“其实,含有未知数的等式叫方程,也并非是方程的严格定义,它仅是一种朴素的描写,并没有明确的外延,是经不起推敲的。首先,改成‘等式’二字也未必准确,实际上应是‘条件等式’才对。因为含有未知数的恒等式不是我们要研究的方程,例如,x-x=0,对一切x都对,何必解呢?反过来,把解‘含有未知数的不等式’,称之为‘解不等式方程’,也可以说得通,无非是大家约定俗成而已。”看了这段话,我们有何感想?

[案例2]“圆周长的一半等于半圆的周长”。判断错误。可是,究竟什么是半圆呢?如果说圆是一条定点到定长的封闭曲线,那半圆不就是这曲线的一半,这不正好是圆周长的一半吗?把直径纳入进去形成半圆,不就承认圆是一个块而不是线了吗?有一天,我突然醒悟并为此感到兴奋,并和老师们交流,老师们也大呼其对。可是过几天,我还是不放心地去翻了《数学大辞典》,它明确告诉我“半圆就是半条弧和直径所组成的图形”。我空欢喜了一场。这个知识点其实是次要的,关键是我们花了那么长时间,去让学生搞懂连自己也不懂的东西,其价值何在呢?

[案例3]“0”一直是整数而非自然数,为这,老师和学生们都没少费脑筋,可现在“0”也加入了自然数的行列;“5个3是多少?”也可以写成“5×3”了;“把6个桃平均分成3份”,操作时,直接拿2个放在一个盘子里,也不说你是科学性错误了。难道数学是可以改变的吗?

[案例4]9月1日,我去随班听课。先是听五年级的数学课,内容为小数乘法的意义。老师花了很大力气去让学生搞清:4×5是表示5个4相加是多少或4的5倍是多少,4×0.5是表示4的十分之五是多少,4×1.5是表示4的1.5倍是多少。有些学生还是有些糊涂,教师便帮助他们总结规律:要看后面的数是大于1还是小于1。小于1的,就是表示这个数的十分之几、百分之几是多少……大于1的,要看是整数还是小数,是小数的,就是几倍;是整数的,可以有两种表示方法……学生更糊涂了。第二节课去听六年级数学课,正好是分数乘法的意义。又出现了上述情形,只不过把小数换成了分数。学生们一半清醒一半醉。“倍”的概念,究竟是什么?如果无关大雅的话,把4×0.5说成4的0.5倍又何妨呢?!至少可以少难为一点我们这些可爱的孩子们。

 

袁振国教授说:“数学就是人们的一种主观建构,从某种程度上说它就是无中生有。”我们不能动摇数学的客观性,但我们也应该关注到数学的主观性。在关注数学事实的同时,更应该关注孩子的数学经验。让数学从静态走向动态,从客观走向主客观的结合……

 

二、是形式,还是实质?

[案例5]一年级数学课上,老师让同学们做课本上的一道题。题目是看图列式,左边图上画了一棵大树,树上有5只鸟,树的旁边又画了3只鸟(头朝树)。学生当即写出算式:“5+3=8”,表示“树上有5只鸟,又飞来3只鸟,一共有8只鸟。”右边图上也画了一棵大树,树上有5只鸟,树旁边有3只鸟,只不过这3只鸟的头的方向是远离树。学生也当即写出算式:“8-3=5”,表示“树上原来有8只鸟,飞了3只,还剩5只。”在一切进行的很顺利之时,一个小朋友站起来说,他列出的算式也是“5+3=8”。老师很不高兴:“难道你没看见小鸟飞的方向吗?头朝左边,就表示加,头朝右边就表示减……”

关键的是这种现象并非个别。在教学中,我们老师做过多少次这种人为的规定啊!“实线就表示合并,虚线就表示去掉”、“看见总共就加,看见剩下就减”。本来简单的数学,变得越来越复杂……

[案例6]教过《三角形认识》的老师都知道,在这节课上我们第一个要煞费苦心的,就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形。为了“围成”与“组成”,我们往往要花去很长的时间,并常常为此设计而津津乐道。反思一下,如果我们不去区别“组成”与“围成”,或者说不把“围成”突出来讲,学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗?我看百分之百不会。数学课上,我们往往喜欢教语文,喜欢去咬文嚼字,看似深挖实质问题,实际是渐离实质。对于一个概念的学习,我们不能只注重它的定义,我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象:学生能画出多少个形状不同的三角形,学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗?一提到钝角三角形、等腰三角形,学生的头脑中就能浮现出各种表象吗?

为什么学生作业中经常会出现“小明身高1.5厘米”等数学笑话?因为我们对定义的关注,也许超过了对心象与它所代表的实际意义的关注,而后者的重要性要远远大于前者。

三、是封闭,还是开放?

[案例7]48×53怎样计算?列竖式,先从个位乘起……我们有一套法则,我们很熟练它,但却根本不知道还会有别的算法。其实,下面的这几种方法都可以计算出它的结果:

48              48                  

 ×53            ×53

——             ——

 2024             24

 12             12                         

 40             40

——          20

2544            ——

                2544

  

面对数学,我们千万不能认为自己的方法就是唯一的。教学数学,我们一定要积极地鼓励学生从多个角度去思考问题。让数学走出封闭,走向开放。

[案例8]在《分数的意义》教学中,我们通常都是从复习平均分开始,然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份,表示每一份的分数;把一条线段平均分成3份,表示每一份的分数……步步为营,一层一层地引导下来。如果我们在课的一开始,就让同学们自己随便写一个分数,然后联系生活实际用这个分数说句话,或直接说说这个分数所表示的意义,可以吗?完全可以,在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中,学生的兴趣只会更高,思维更活跃。

我们不能老是让学生接触封闭的数学(条件唯一,答案唯一)。数学的魅力在哪里?在于数学的探索性与想象力。只有充满着想象的数学,才会深深地吸引着孩子。

某水果店有以下三种苹果(每千克2元、每千克4元和每千克5元),用40元钱可以买多少千克苹果?

某种苹果每千克2元,用40元钱可以买多少苹果呢?100元呢?

试比较以上两道题,谁的魅力更大呢?

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